From fd77c2f63fde0017a55762d1dec7446dbd6a7ff3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Try_To_Take <70414732+Lolka555@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 23 Jan 2026 22:52:12 +0300
Subject: [PATCH 1/3] Update mincost-maxflow.md

A clearer and cleaner record of the proof of the statement about the cost of edges when applying Johnson potentials.
---
 content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md b/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
index e4f34070..f26fd8c8 100644
--- a/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
+++ b/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
@@ -52,8 +52,8 @@ $$ w_{uv}' = w_{uv} + d_u - d_v $$
 
 **Доказательство.** Пусть вес какого-то ребра $(u, v)$ отрицателен, то есть $w_{uv}' = w_{uv} + d_u - d_v < 0$. Тогда $d_u + w_{uv} < d_v$, и нарушилось неравенство треугольника: почему мы тогда не использовали ребро $(u, v)$, когда искали кратчайший путь до $v$?
 
-Аналогично можно показать, что рёбра на кратчайших путях из $s$ имеют нулевую стоимость. Заметим, что стоимость *обратных* рёбер на кратчайших путях тоже будет нулевой:
-$$ w_{vu}' = w_{vu} + d_v - d_u = -w_{uv} - d_u + d_v = -(w_{uv}) = 0 $$
+Аналогично можно показать, что рёбра на кратчайших путях из $s$ имеют нулевую стоимость. Заметим, что стоимость *обратных* рёбер на кратчайших путях тоже будет нулевой. Возьмём ребро $(u, v)$, которое лежит на кратчайшем пути из $s$, то есть $d_v = d_u + w_{uv}$. Тогда:
+$$ w_{vu}' = -w_{uv} + d_v - d_u = -w_{uv} + (d_u + w_{uv}) - d_u = -w_{uv} + w_{uv} = 0 $$
 
 **Утверждение 2**. Кратчайшие пути между любыми вершинами остались кратчайшими.
 

From 2770a09144e02cf722f4f403461d2b1a2804267b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Try_To_Take <70414732+Lolka555@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 23 Jan 2026 22:52:48 +0300
Subject: [PATCH 2/3] Update mincost-maxflow.md

fix
---
 content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md b/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
index f26fd8c8..6693fda3 100644
--- a/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
+++ b/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
@@ -53,7 +53,7 @@ $$ w_{uv}' = w_{uv} + d_u - d_v $$
 **Доказательство.** Пусть вес какого-то ребра $(u, v)$ отрицателен, то есть $w_{uv}' = w_{uv} + d_u - d_v < 0$. Тогда $d_u + w_{uv} < d_v$, и нарушилось неравенство треугольника: почему мы тогда не использовали ребро $(u, v)$, когда искали кратчайший путь до $v$?
 
 Аналогично можно показать, что рёбра на кратчайших путях из $s$ имеют нулевую стоимость. Заметим, что стоимость *обратных* рёбер на кратчайших путях тоже будет нулевой. Возьмём ребро $(u, v)$, которое лежит на кратчайшем пути из $s$, то есть $d_v = d_u + w_{uv}$. Тогда:
-$$ w_{vu}' = -w_{uv} + d_v - d_u = -w_{uv} + (d_u + w_{uv}) - d_u = -w_{uv} + w_{uv} = 0 $$
+$$w_{vu}' = -w_{uv} + d_v - d_u = -w_{uv} + (d_u + w_{uv}) - d_u = -w_{uv} + w_{uv} = 0$$
 
 **Утверждение 2**. Кратчайшие пути между любыми вершинами остались кратчайшими.
 

From 22d26f80f9e4bfd6906d6619fc0912c360f73b6d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Try_To_Take <70414732+Lolka555@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 23 Jan 2026 22:53:25 +0300
Subject: [PATCH 3/3] Update mincost-maxflow.md

formating fix.
---
 content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md | 1 +
 1 file changed, 1 insertion(+)

diff --git a/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md b/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
index 6693fda3..7c85dcae 100644
--- a/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
+++ b/content/russian/cs/flows/mincost-maxflow.md
@@ -53,6 +53,7 @@ $$ w_{uv}' = w_{uv} + d_u - d_v $$
 **Доказательство.** Пусть вес какого-то ребра $(u, v)$ отрицателен, то есть $w_{uv}' = w_{uv} + d_u - d_v < 0$. Тогда $d_u + w_{uv} < d_v$, и нарушилось неравенство треугольника: почему мы тогда не использовали ребро $(u, v)$, когда искали кратчайший путь до $v$?
 
 Аналогично можно показать, что рёбра на кратчайших путях из $s$ имеют нулевую стоимость. Заметим, что стоимость *обратных* рёбер на кратчайших путях тоже будет нулевой. Возьмём ребро $(u, v)$, которое лежит на кратчайшем пути из $s$, то есть $d_v = d_u + w_{uv}$. Тогда:
+
 $$w_{vu}' = -w_{uv} + d_v - d_u = -w_{uv} + (d_u + w_{uv}) - d_u = -w_{uv} + w_{uv} = 0$$
 
 **Утверждение 2**. Кратчайшие пути между любыми вершинами остались кратчайшими.