2025-06-25a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-06-24-复分析重要结论.md

@@ -8,8 +8,30 @@ math: true
 tags: [数学,多元复分析,重要结论,笔记]
 ---
 本文主要是记录我在学习多元复分析[^book]时遇到的有些书中很重要的结论，以便查阅。
+## 全纯函数（哈托格斯基本定理）
+页数：14页（证明从23页开始）<br>
+命题：<br>
+如果函数$f$在区域$D\subset\mathbb C^n$中的任意点对变量中每个$z_\nu$为全纯，则其在$D$中全纯<br>
+---
+也就是说对于多元复变函数$f$，我们只需分别检验其对每一个自变量$z_\nu$十分为全纯，我们就可以知道其是不是在$D$上是全纯的，这是实变函数想都不敢想的结论。
+## 多重调和函数
+页数：15页<br><br>
+若$2n$元实变函数$u(x^0,y^0)$[^jianxie]满足
+
+$$
+\frac{\partial^2 u}{\partial x_\mu\partial x_\nu}+\frac{\partial^2 u}{\partial y_\mu\partial y_\nu}=0
+$$
+
+和
+
+$$
+\frac{\partial^2 u}{\partial x_\mu\partial y_\nu}-\frac{\partial^2 u}{\partial x_\nu\partial y_\mu}=0
+$$
+
+那么我们则称函数$u$是多重调和函数。<br><br>
+和一元复变函数一样，任何全纯的多元复变函数的实部和虚部都是多重调和函数，但是对于任何多重调和函数，却不一定有在某区域$D$上全纯的函数，因为在$D$上的每个点都全纯的函数也不一定能说其在$D$上全纯。所以我们只能保证对于任何多重调和函数，存在在点$(x^0,y^0)$的全纯函数，其实部（虚部）等于$u$。
 ## 泰勒展式
-页数：18页<br>
+页数：18页<br><br>
 如果$f\in\mathscr O(U)\cap C(\bar U)$，则对于任意$z\in U$，它可以表示为多重幂级数
 
 $$
@@ -55,7 +77,46 @@ $f$的泰勒展开式所有系数在$a$处为零，则在该点的某个领域
 
 ---
 可见，实际上我们不是真的要求全部的偏导数都为零，主要是我们要求在空间$\mathbb C^n$上，我们在每个方向上都有零点的点列，为了照顾到全部的空间方向，我们才不得不做此妥协。
+## 施瓦茨引理
+页数：23页<br>
+### 命题
+设函数$\phi$在**圆盘**$$U_r=\{|z|<r\}\subset\mathbb C$$中为全纯，又在某点$z_0\in U_r$有$\phi=0$，并且在$U_r$处处成立$|\phi|\leq M$；于是在整个$U_r$中有
+
+$$
+|\phi(z)|\leq Mr\frac{|z-z_0|}{r^2-\bar{z_0}-z}
+$$
+
+（当$r=M=1,z_0=0$时我们便得到通常的表述）
+### 证明
+应用从$U_r$到**单位圆盘**$U$的线性分式映射：
 
+$$
+\lambda:z\mapsto r\frac{z-z_0}{r^2-\bar{z_0}z}
+$$
+
+再以$\lambda^{-1}$表示逆映射$U\to U_r$，再考虑函数$\psi=\frac{1}{M}\phi\circ\lambda^{-1}$。它满足通常的施瓦茨引理（即对单位圆盘内全纯的$\psi(z)$有$|\psi(z)|\leq|z|$），再以$\lambda(z)$替换这里的$z$就得到了我们想要证明的命题。
+### 理解
+这个命题的理解重点不是证明的过程和思路，最重要的是映射$\lambda$是哪里来的，这么奇怪的一个表达式，总不能是注意到吧。<br><br>
+最开始我将多圆盘看成的圆了😅。而且我还以为映射就是将$z_0$移动到原点，然后对其他部分进行某种拉伸，根据方向$z-z_0$以及$z$到$z_0$的距离，将点映射到$U$上，可是在我尝试计算1.5h之后，我发现这个理解是错误的，很简单，因为原点就映射到了$-\frac{z_0}{r}$，和我设想的不一样。<br><br>
+其实映射并没有什么复杂的，其实它就是一元情况下将半径为$r$，以原点为圆心的圆映射到单位圆的一系列映射的推广中的特殊一个，这部分应在单元复变函数中学习过，就是一种简单的线性分式映射的应用 ~~（显然，我忘了）~~。而推导这个映射只使用了两个条件：
+1. 点$z_0$映射到原点
+2. 圆$r$映射到单位圆，从而原本关于圆$r$对称的点映射后关于单位圆对称。这里也就是说$\frac{1}{\bar{z_0}}$映射到无穷远点
+
+将上面两个条件带入映射公式
+
+$$
+z\mapsto \frac{Az+B}{Cz+D}
+$$
+
+我们就可以得到所有这样的映射
+
+$$
+z\mapsto\lambda\frac{z-z_0}{1-\bar{z_0}z},|\lambda|=1
+$$
+
+可以注意到这个形式和命题使用的映射是十分像的，我们只需要取$\lambda=1$就得到对应的式子了。所以这个映射是很自然的，结论也是自然的，就是一维施瓦茨引理的自然推广。
+
+---
 [^book]: 苏联教材：复分析导论，沙巴特著[第一卷](https://zh.z-library.sk/book/7119022/0fac64/%E5%A4%8D%E5%88%86%E6%9E%90%E5%AF%BC%E8%AE%BA%E5%8D%95%E5%A4%8D%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0.html)、[第二卷](https://zh.z-library.sk/book/7119023/44e6e5/%E5%A4%8D%E5%88%86%E6%9E%90%E5%AF%BC%E8%AE%BA%E5%A4%9A%E5%A4%8D%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0.html)（页数默认指第二卷页数）
 [^jianxie]: 书中的符号简写规则，可见[复分析导论书中的符号和记法汇总](../复分析符号和记法/#向量有关的简写记号)
 [^jihelun]: [冯琦集合论第一卷](https://zh.z-library.sk/book/16996375/a1863a/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E5%AF%BC%E5%BC%95-%E7%AC%AC1%E5%8D%B7.html)第三章的定义