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Chirpy/_posts/2025-08-05-集合论笔记(第二卷).md

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@@ -135,14 +135,44 @@ $$
135135
页数:86页(书67页)
136136
### 原文
137137
定理1.19($\Delta_{0}$绝对性)设 $\phi (v_{1},\dots ,v_{n})$ 是一个 $\Delta_{0}$ 表达式,那么
138+
(1)
138139

139140
$$
140141
\begin{array}{r@{\,}l}
141-
(1)\,\mathrm{ZF}\vdash & \left(\forall M\forall N\left(\left(M\neq\varnothing\land\left(\forall x\in M(x\subset M)\right)\land M\subseteq N\right)\to{}\right.\right.\\
142-
& \phantom{\mathrm{ZF}\vdash (}\left.\left.\forall x_{1}\in M\cdots\forall x_{n}\in M\left(\begin{array}{l}{\left(M\models\varphi[x_{1},\cdots,x_{n}]\right)}\\\\\leftrightarrow\\\\{\left(N\models\varphi[x_{1},\cdots,x_{n}]\right)}\end{array}\right)\right)\right)\\
143-
(2)\,\mathrm{ZF}\vdash & \left(\forall M\left(\left(M\neq\varnothing\land\left(\forall x\in M(x\subset M)\right)\right)\to{}\right.\right.\\
144-
& \phantom{\mathrm{ZF}\vdash (}\left.\left.\forall x_{1}\in M\cdots\forall x_{n}\in M\left(\varphi(x_{1},\cdots,x_{n})\leftrightarrow M\models\varphi[x_{1},\cdots,x_{n}]\right)\right)\right)
142+
\,\mathrm{ZF}\vdash & \left(\forall M\forall N\left(\left(M\neq\varnothing\land\left(\forall x\in M(x\subset M)\right)\land M\subseteq N\right)\to{}\right.\right.\\
143+
& \phantom{\mathrm{ZF}\vdash (}\left.\left.\forall x_{1}\in M\cdots\forall x_{n}\in M\left(\begin{gathered}
144+
{\left(M\models\varphi[x_{1},\cdots,x_{n}]\right)}\\
145+
\leftrightarrow\\
146+
{\left(N\models\varphi[x_{1},\cdots,x_{n}]\right)}
147+
\end{gathered}\right)\right)\right)
148+
\end{array}
149+
$$
150+
151+
(2)
152+
153+
$$
154+
\begin{array}{r@{\,}l}\mathrm{ZF}\vdash & \left(\forall M\left(\left(M\neq\varnothing\land\left(\forall x\in M(x\subset M)\right)\right)\to{}\right.\right.\\
155+
& \phantom{\mathrm{ZF}\vdash (}\left.\left.\forall x_{1}\in M\cdots\forall x_{n}\in M\left(\begin{gathered}
156+
\varphi(x_{1},\cdots,x_{n})\\
157+
\leftrightarrow\\
158+
M\models\varphi[x_{1},\cdots,x_{n}]
159+
\end{gathered}\right)\right)\right)
145160
\end{array}
146161
$$
147162
### 意义
148-
这意味着$\Delta_0$表达式在任何传递类上进行限制都不会对其含义有任何的影响,在任何传递类上的限制,其都保持相同。这也就保证了,在大多数集合论的模型中(因为这些模型大多传递),任何一个理论的$\Delta_0$表达式在其对应的多数理论中都是相同的
163+
这意味着$\Delta_0$表达式在任何传递类上进行限制都不会对其含义有任何的影响,在任何传递类上的限制,其都保持相同。这也就保证了,在大多数集合论的模型中(因为这些模型大多传递),任何一个理论的$\Delta_0$表达式在其对应的多数理论中都是相同的
164+
## 广义镜像原理
165+
页数:112页(书93页)<br><br>
166+
定理1.29(广义镜像原理)设 $\langle \varphi_{0},\varphi_{1},\dots ,\varphi_{k - 1}\rangle$ 为 $\in$ 形式表达式的一个列表.假设 $W$ 是一个非空的类,以及对于每一个序数 $\alpha ,U_{\alpha}$ 是一个集合.进一步地假设
167+
168+
(1)对于任意两个序数 $\alpha < \beta$ 都有 $U_{\alpha}\subseteq U_{\beta}$
169+
170+
(2)对于每一个极限序数 $\delta$ 都有 $U_{\delta} = \bigcup_{\alpha < \delta}U_{\alpha}$
171+
172+
(3) $W = \bigcup_{\alpha \in \mathrm{Ord}}U_{\alpha}$
173+
174+
那么下述成立:
175+
176+
$$
177+
\forall\alpha\exists\beta\left(\alpha\in\beta\land\beta\in\mathrm{LimOrd}\land U_\beta\neq\varnothing\land\bigwedge_{i<k}\left(U_\beta\prec_{\varphi_{i}}W\right)\right).
178+
$$

Chirpy/_posts/2025-08-23-集合论习题(第二卷).md

Lines changed: 61 additions & 2 deletions
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@@ -54,7 +54,7 @@ $\in-$极小原理
5454
首先根据定义拆解第一个$\to$,假设前半句确实在我们的$(V_\omega,\in)$中,那么我们需要第二条是成立的,它也在我们的结构当中。这意味着如下语句必须在结构中
5555

5656
$$
57-
\exists v_{n+1}(\phi(v_{1},\cdots,v_{n},v_{n+1})\land\forall v_{n+2}\in v_{n+1}(\neg\phi(v_{1},\cdots,v_{n},v_{n+2}))
57+
\exists v_{n+1}(\phi(v_1,\cdots,v_n,v_{n+1})\land\forall v_{n+2}\in v_{n+1}(\neg\phi(v_1,\cdots,v_n,v_{n+2}))
5858
$$
5959

6060
从而要求
@@ -103,4 +103,63 @@ $$
103103
#### (b)证(c)
104104
在(1)的基础上验证幂集公理即可。
105105
#### (c)证(a)
106-
考虑幂集公理,任取序数$\alpha$都有$\alpha\in\mathcal H_\kappa$,那么通过幂集公理我们就有$\mathfrak P(\alpha)\in\mathcal H_\kappa$,而且因为整个$\mathrm{ZF}$都在$\mathcal H_\kappa$中是成立的,所以也就有$\vert\mathfrak P(\alpha)\vert=2^\alpha<\kappa$,根据[强极限基数的定义](../部分结论记录/#不可达基数),$\kappa$是强极限基数,从而是不可达基数。
106+
考虑幂集公理,任取序数$\alpha$都有$\alpha\in\mathcal H_\kappa$,那么通过幂集公理我们就有$\mathfrak P(\alpha)\in\mathcal H_\kappa$,而且因为整个$\mathrm{ZF}$都在$\mathcal H_\kappa$中是成立的,所以也就有$\vert\mathfrak P(\alpha)\vert=2^\alpha<\kappa$,根据[强极限基数的定义](../部分结论记录/#不可达基数),$\kappa$是强极限基数,从而是不可达基数。
107+
## 定理1.30
108+
页数:113页(94页)<br><br>
109+
### 原命题
110+
定理1.30(ZFC)设 $\kappa$ 是一个不可数的正则基数, 设 $\langle U_{\alpha}\mid \alpha \leqslant \kappa \rangle$ 是一个满足下述要求的序列:
111+
112+
(1)如果 $\alpha < \beta \leqslant \kappa$ , 那么 $U_{\alpha}\subseteq U_{\beta}$
113+
114+
(2)如果 $\delta \leqslant \kappa$ 是一个极限序数, 那么 $U_{\delta} = \bigcup_{\alpha < \delta}U_{\alpha}$
115+
116+
(3) $|U_{\kappa}| = \kappa$ , 以及 $\forall \alpha < \kappa |U_{\alpha}|< \kappa$ . 那么
117+
118+
$$
119+
\forall \alpha < \kappa \exists \beta (\alpha \in \beta \in \kappa \land \beta \in \mathrm{LimOrd}\land U_{\beta}\neq \varnothing \land \bigwedge\limits_{i<k}(U_{\beta}\prec U_{\kappa}))
120+
$$
121+
### 证明
122+
$ZFC$中全部表达式列成序列(因为表达式只有可列个),如下:$\langle \varphi_0,\varphi_1,\cdots\rangle$,对于每一个$k\in\mathbb N$,做截断$\langle \varphi_0,\varphi_1,\cdots,\varphi_k\rangle$,参考[广义镜像原理](./集合论笔记-第二卷/#广义镜像原理/)的证明,不妨认为这个截断彰显全部子表达式(加进去就好了)且没有$\forall$(用$\exists$等价替换即可)<br><br>
123+
对于每一个形如$\exists v_{n+1}\varphi_j(v_1,\dots,v_n,v_{n+1})$ 的表达式 $\varphi_i(v_1,\dots,v_n)$定义
124+
125+
$$
126+
F_i: U_\kappa^n\to \kappa
127+
$$
128+
129+
如果$\neg\varphi_i{U_\kappa}^(x_1,\dots ,x_n)$,那么令$F_i(x_1,\dots ,x_n)=0$;如果$\varphi_i^{U_\kappa}(x_1,\dots,x_n)$,那么令
130+
131+
$$
132+
F_i(x_1,\dots,x_n)=\min\left\{\xi\in\kappa\mid\exists x_{n+1}\in U_i\varphi_j^{U_\kappa}(x_1,\dots,x_n,x_{n+1})\right\}
133+
$$
134+
135+
以及如下定义$G_i:\kappa\to\kappa$:对于$\gamma\in\kappa$
136+
137+
$$
138+
G_i(\gamma)=\bigcup\left\{F_i(x_1,\dots,x_n)\mid(x_1,\dots,x_n)\in U_\gamma^n\right\}
139+
$$
140+
141+
当$\varphi_i$并非存在型表达式时,令$G_i:\kappa\to \{0\}$
142+
143+
最后,对$\gamma\in\kappa$,令
144+
145+
$$
146+
E(\gamma)=\max\{\gamma+1,\max\{G_i(\gamma)\mid i< k\}\}
147+
$$
148+
149+
任意固定一个序数$\alpha$。欲得一个满足后述要求的极限序数$\beta >\alpha :U_{\beta}\neq\varnothing$。为此, 令
150+
151+
$$
152+
\beta_0 = \min \{\xi \mid \xi >\alpha \wedge U_{\xi}\neq \varnothing \} .
153+
$$
154+
155+
因为 $U_\kappa\neq \varnothing$ 是这些 $U_\gamma$ 的并, 这样的$\xi$一定存在。再令 $\beta_{j + 1} = E(\beta_j)$。这样,
156+
157+
$$
158+
\alpha < \beta_0< \beta_1< \dots .
159+
$$
160+
161+
令$\beta = \bigcup \{\beta_j\mid j< \omega \}<\kappa$。此$\beta$即可以保证$\bigwedge\limits_{i<k}(U_{\beta}\prec U_{\kappa})$。<br><br>
162+
根据上述证明记映射$H(\alpha,k)=\beta<\kappa$,然后令$\mu_0=\bigcup\limits_{k\in\mathbb N}\{H(\alpha+1,k)\}<\kappa$,$\mu_{j+1}=\bigcup\limits_{k\in\mathbb N}\{H(\mu_j+1,k)\}<\kappa$。<br><br>
163+
最后令$\mu=\bigcup\{\mu_i\}<\kappa$即为我们所求的“$\beta$”
164+
### 疑问
165+
证明中并没有使用到选择公理吧,难道对$ZF$也成立?

Chirpy/_posts/2025-09-09-集合论第二卷概念辨析.md

Lines changed: 18 additions & 1 deletion
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -94,4 +94,21 @@ $$
9494

9595
则称 $(A,\in)$ 为理论 $T$ 的一个传递模型
9696
#### 理解
97-
[习题](../集合论习题-第二卷/#例141)
97+
[习题](../集合论习题-第二卷/#例141)
98+
### $\prec$
99+
页数:92页(书73页)<br><br>
100+
称 $\mathfrak{B}$ 为 $\mathfrak{A}$ 的一个同质子模型, 记成 $\mathfrak{B} \prec \mathfrak{A}$ , 当且仅当<br><br>
101+
(a) $\mathfrak{B}$ 是 $\mathfrak{A}$ 的一个子结构, 并且<br>
102+
(b) 如果 $\phi (v_{1}, \dots , v_{n})$ 是语言 $\mathcal{L}$ 的一个彰显自由变元的表达式,
103+
104+
$$
105+
(a_{1}, \dots , a_{n}) \in B^{n},
106+
$$
107+
108+
那么
109+
110+
$$
111+
\mathfrak{B}\vDash \phi [a_{1},\dots ,a_{n}]\iff \mathfrak{A}\vDash \phi [a_{1},\dots ,a_{n}]
112+
$$
113+
114+
此外,$\prec_\varphi$也就是说仅仅在表达式$\varphi$上有$\mathfrak A,\mathfrak B$真实性相同(可参考108页(书89页)

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