2025-09-26b

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-08-05-集合论笔记（第二卷）.md

@@ -167,12 +167,30 @@ $$
 
 (1)对于任意两个序数  $\alpha < \beta$  都有  $U_{\alpha}\subseteq U_{\beta}$
 
-(2)对于每一个极限序数  $\delta$  都有  $U_{\delta} = \bigcup_{\alpha < \delta}U_{\alpha}$
+(2)对于每一个极限序数  $\delta$  都有  $U_{\delta} = \bigcup\limits_{\alpha < \delta}U_{\alpha}$
 
-(3)  $W = \bigcup_{\alpha \in \mathrm{Ord}}U_{\alpha}$
+(3)  $W = \bigcup\limits_{\alpha \in \mathrm{Ord}}U_{\alpha}$
 
 那么下述成立:
 
 $$
 \forall\alpha\exists\beta\left(\alpha\in\beta\land\beta\in\mathrm{LimOrd}\land U_\beta\neq\varnothing\land\bigwedge_{i<k}\left(U_\beta\prec_{\varphi_{i}}W\right)\right).
 $$
+
+## 共尾子集
+起因见[问题](../我的集合论问题-第二卷/#推论18证明)<br><br>
+**这部分主要探讨一个问题：为什么能够存在共尾子集，尤其是书中几个定理是如何避免存在函数与共尾子集中所有函数都没有序关系的**<br><br>
+通过返回去重新看书，我发现有两处关键的地方（两处相互之间没有依赖，是不同的证明）：定理1.31（断言三）、引理1.22（末尾），页数分别为118页(书99页)、120页(101页)。<br><br>
+### 定理1.31
+定理1.31通过证明语句
+
+$$
+(\neg (\exists f\in \Pi (\omega ,K)(f< _{I}g\wedge \forall \xi < \kappa^{+}(f\not\leq_{I}f_{\xi}))))
+$$
+
+排除了全部可能与$f_\xi$无序关系的$f$们，方法则是通过证明$<_I$上界$g$与$f_\xi$十分接近，以至于任何无序关系的$f$都不可能夹在中间。因为任何与$f_\xi$没有序关系的函数都必须有很多个函数值大于$f_\xi$而且同时很多个函数值小于$f_\xi$（这样才能保证两个对应的集合不在$I$中），可是$g,f_\xi$十分接近阻止了$f_\xi$这么做。最后，通过一个映射将$f_\xi$们映射到$\kappa$上去（$g$同时被映射到$\kappa$上）。
+### 引理1.22
+再来看引理1.22，类似的方法，不过是直接正面证明的，步骤则是先找到上界$f$满足的一个重要条件：上界几乎与序列中的各个函数相等（同样是两者十分地接近），然后证明任何函数$h$都一定会几乎小于某个$f_\alpha$。而做到证明两者十分接近的重要一步就是前面找到的同质子模型$M$，因为只有这样我们才能居高临下地审视$f$与$f_\alpha$们究竟有多么接近。
+
+---
+总结来说，避免出现不可比的情况的重要一步便是证明我们的序列增长地极其快，与上界直接几乎没什么空间能够允许别的函数。而要证明这一步，我们必须缩小我们讨论的范围，将其局限在某一个区域内（比如1.31的$g$，又或是1.22的$M$）。否则又要有上界，还要充分大，与上界间不留下任何空间，“从下往上”是几乎不可能证明的，因而做这样的限制就是必须的了。

Chirpy/_posts/2025-08-12-我的集合论问题（第二卷）.md

@@ -87,10 +87,11 @@ $$
 比如$ZF$公理体系内无法证明$ZF$自身的一致性，而定理则说一个理论是一致的等价于其存在一个模型。那$ZF$无法证明自身的一致性是不是意味着我们不能够在$ZF$公理体系内找到一个$ZF$的模型$(A,E)$（见$\vDash$[(点击此处跳转)](../集合论第二卷概念辨析/#vdash)）。<br><br>
 更一般地，我们是不是可以不局限于$ZF$体系，只需要这个公理体系不能够证明自身一致性即可？然后这个公理体系内也就不能找到一个自己的模型？我认为答案应该是肯定的。
 ## 推论1.8证明
+- [x] 已解决，见[解决方案](#解决方案)<br><br>
 页数：121页(书102页)
 ### 书中内容
 推论1.8(共顶三选一引理)设  $A$  是一个无穷集合,  $I$  是  $A$  上的一个理想.设 $\lambda >2^{|A|}$  是一个正则基数.对于  $a\in A$  令  $\gamma_{a} > 0$  为一个极限序数<br><br>
-假设偏序集  $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$  是  $\lambda$  - 共顶的.那么下述三种情形之一必然成立:<br>
+假设偏序集  $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$  是 $$\lambda$$-共顶的.那么下述三种情形之一必然成立:<br>
 (a)偏序集  $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$  是  $\lambda^{+}$  -共顶的;<br>
 (b)偏序集  $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$  有一根  $\lambda$  -标尺;<br>
 (c)  $I^{+}$  中有两个元素  $X$  与  $Y$  来实现下述目标:  $A = X\cup Y$  ;相对于  $X$  而言,偏序集  $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$  有一根  $\lambda$  -标尺,并且相对于  $Y$  而言,偏序集  $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$  是 $\lambda^{+}$  -共顶的<br><br>
@@ -106,10 +107,11 @@ $$
 对于每一个  $Z \in \mathcal{Z}$ , 令  $\langle f_{\alpha}^{Z} \mid \alpha < \lambda \rangle$  为  $Z$  上的一根标尺. 令
 
 $$
-T = \left\{f_{\alpha}^{Z} \mid \alpha < \lambda \land Z \in \mathcal{Z} \right\} .
+T = \left\{f_{\alpha}^{Z} \mid \alpha < \lambda \land Z \in \mathcal{Z} \right\}
 $$
 
-由于  $2^{|A|} < \lambda$ , 我们有  $|T| = \lambda$ . 再度应用  $\lambda$ - 共顶特性, 我们可以得到一个具备下述特性的长度为  $\lambda$  的  $< _{I}$ - 单调递增的序列  $F = \langle f_{\alpha} \mid \alpha < \lambda \rangle$ :
+
+由于$2^{|A|} < \lambda$,我们有  $|T| = \lambda$ . 再度应用  $\lambda$ - 共顶特性, 我们可以得到一个具备下述特性的长度为  $\lambda$  的  $< _{I}$ - 单调递增的序列  $F = \langle f_{\alpha} \mid \alpha < \lambda \rangle$ :
 
 $$
 \forall f \in T \exists \alpha < \lambda \left(f \leqslant_{I} f_{\alpha}\right).
@@ -127,5 +129,8 @@ $$
 >这样, 或者  $F$  是一个标尺, 或者  $A = X \cup Y$  以至于  $F$  在  $X$  上有界, 而在  $Y$  上共尾
 
 也基于和上面同样的思路，都依赖于共尾三选一引理。**可是引理条件都不满足啊！**
-> 折腾8个小时后，我突然有了一个思路，如果将原本无界的$F$从$\prod_{a\in A}\gamma_a,<_I$提升到$\prod_{a\in A}{\gamma_a+1},<_I$，$F$不就有界了？是不是就可以用引理了？
-{: .prompt-info }
+### 解决方案
+> 折腾8个小时后，我突然有了一个思路，如果将原本无界的$$F$$从$\prod_{a\in A}\gamma_a,<_I$提升到$\prod_{a\in A}{\gamma_a+1},<_I$，$$F$$不就有界了？是不是就可以用引理了？
+{: .prompt-info }
+
+不过即使找到了这个问题的答案，我仍然觉得不满足，那为什么一定不存在$g$和序列$F$中每一个$f$都不存在序关系呢，对于这部分请见[笔记](../集合论笔记-第二卷/#共尾子集)