2025-12-26a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-08-05-集合论笔记（第二卷）.md

@@ -295,7 +295,6 @@ $$
  {: .prompt-info }
 
 ## 嵌入映射性质
-### 对名字
 页数：313页（书294页）引理3.50<br>
 >具体符号见[概念辨析](../集合论第二卷概念辨析)
 
@@ -308,4 +307,51 @@ $$
 那么
 1. $H$是$M$之上的一个$\mathbb{Q}-$泛型滤子
 2. 对于每一个$\tau \in M^{\mathbb{Q}}$，$i_{*}(\tau) \in M^{\mathbb{P}}$，并且  $i_{*}(\tau) / G = \tau /H$
-3. $M[H] \subseteq M[G]$
+3. $M[H] \subseteq M[G]$
+
+## 否定选择公理
+书上否定选择公理的证明中（PDF 316-318页）最重要的引理是引理3.52：<br><br>
+设$M \vDash \mathrm{ZFC}$为一个可数传递模型。在$M$中，令
+
+$$
+P = \left\{p \subset (\omega_{1})^{M} \times 2 \mid \operatorname {dom}(p) \in [(\omega_{1})^{M}]^{< \omega} \land p: \operatorname {dom}(p) \rightarrow 2 \right\}
+$$
+
+以及对于$p, q \in P$，令$p \leqslant q \leftrightarrow p \supseteq q$，并且令$1 = \emptyset$，$\mathbb{P} = (P, \leqslant , 1) \in M$。设$\phi$为力迫语言$\mathcal{F L}_{\mathbb{P}} \cap M$中带有一个自由变元$x$以及如果有名字在$\phi$中出现，那么在其中出现的名字要么是$\omega$子集合的本名，要么是$M$中某些元素的典型名字。设$G$是$M$之上的$\mathbb{P}-$泛型滤子。那么，在$M[G]$中下述语句成立
+
+$$
+\{x\in\mathfrak P(\omega)\mid\varphi(x)\}不是一个区分
+$$
+
+>称  $\mathcal{E} \subset \mathfrak{P}(\omega)$  为一个区分当且仅当
+>
+$$
+\forall x \in \mathfrak{P}(\omega) (x \in \mathcal{E} \leftrightarrow (\omega - x) \notin \mathcal{E})
+$$
+>
+>且
+>
+$$
+\forall x \in \mathfrak{P}(\omega) \forall y \in \mathfrak{P}(\omega) ((x - y) \cup (y - x]) < \omega \rightarrow (x \in \mathcal{E} \leftrightarrow y \in \mathcal{E}))
+$$
+>
+>很明显的，选择函数就是一种很重要的区分，如果选择函数能够定义出来，自然就可以定义出区分来。
+
+这一条重要就重要在，它说明对于这个力迫构思（回顾添加科恩实数，可以发现这两者是十分相像的），使用任何表达式$\varphi$来定义区分都是不可能的，总有两个名字十分相像而无法区分，自然很好地定义出选择函数就是不可能的，这就保证我们后面能基于此否定选择公理。<br><br>
+可是我们再考虑，如果我们就用之前的添加科恩实数的力迫构思（为满足科恩实数的保持基数条件，简单起见设$\kappa,\lambda$都是$M$中的正则基数）
+
+$$
+\textbf{Add}(\kappa,\lambda)=\{p\in[\kappa,\lambda]^{<\lambda}\to2\}
+$$
+
+按照书中的证明过程，我们定义自同构如下，设$X\subseteq\lambda$
+
+$$
+dom(i^X(p))=dom(p)\wedge i^X(p)(\alpha,\xi)=
+\begin{cases}
+p(\alpha,\xi)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\xi\in X\\
+1-p(\alpha,\xi)\,\,\,\xi\notin X
+\end{cases}
+$$
+
+下面的证明完全照搬引理的证明就能说明，其实添加科恩实数也是能够用来否定选择公理的，书上用的$\omega_1$没有什么特别的地方。而当时否定$GCH$时没有强调这一点，因为如果不刨除这些无法定义的选择函数，选择公理仍然是成立的，只有经过了筛选，选择公理才会不成立。