2025-10-24a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-04-22-奇葩问题记录.md

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 读者可以自行验证这个函数在$\epsilon_m$点处确实各阶导数为0，于是我们最后就可以定义函数$f_i$，从而定义出$f$。更进一步，既然我们定义的$f_i$都没有提高多项式阶数，那我们定义起点（先取有限个点定义它们上的可导函数）可以是任意阶的（甚至不是多项式）函数，而且不论怎样的定义起点，我们都可以归纳定义出一个全新的$f$来，而且这些$f$之间都是线性无关的<br><br>
 总结：若点列$A$仅有一个聚点，一定是可以定义出一个函数$f$，使得$f(x_i)=y_i$，且$f$在$\mathbb R$上无穷阶可导。
+## 一笔画
+最近在玩一笔画的小游戏，因而有兴致思考什么样的图形可以一笔画出（当然我知道这个问题肯定不少人都已经研究过了，不过我的确没有去看他们的研究成果，下面的部分都是我自己的研究成果。<br><br>
+### 什么是一笔画出
+首先，定义什么叫做将图形一笔画出相当的重要，对此，我采用的定义如下：<br>
+若对于一个连通图，存在一个对应的有向图，对于此有向图中的每个点，考虑指向和远离此点的箭头的数量之差，若对图中所有点，此值均为0，或者有一个点为1，一个点为-1，而其余点均为0，我们称这个图可以一笔画出。<br><br>
+这个定义是很显然的，要么一笔画的出发点和终止点相同（所有点都为0），要么不同（第二种情况），这种情况一定能保证我们可以沿着这个有向图一笔将其画出。
+### 一笔画的充要条件
+然后，我们便需要考虑什么样的图是可以一笔画出的了。显然，根据定义我们不难知道，一个图中对于所有点连接的线段数目，要么全都是偶数个，要么仅有两个点是奇数条，而其他所有点都是偶数条才是有可能一笔画出的。然后经过我自己尝试，我怀疑这不仅是必要条件，更是充分条件，因为每一个这样的图都可以一笔画出，所以我猜测一个连通图可以一笔画出的充要条件是
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+$$
+所有点连接的线段数目，要么全都是偶数个，要么仅有两个点是奇数条，而其他所有点都是偶数条
+$$
+
+而证明也很简单，只需要稍微使用归纳法即可，不过在那之前，我们需首先处理一下第二种情况，很明显，如果我们将两个奇数条线段的点连起来，这个图仍然可以一笔画出，反之，如果这个加了线段之后的图可以一笔画出，那原来没加的也可以一笔画出。这也就是说两者是等价的，只有第一种情况一定能画出，那对于所有第二种情况的图也一定能画出。所以下面我们只需要重点考虑第二种情况就好了。<br><br>
+递归地，如果对所有有$n$个点的连通图结论都成立，我们来证明对有$n+1$个点的图结论也都成立。这时我们还要对第$n+1$个点上所有的线数做递归，假设对$n+1$个点上有$2m$条线<br><br>
+首先递归假设，对$m=1$时，若去除这两条线，剩下的$n$个点可一笔画出，而这时$n$个点形成的图形就是第二种情况对应的图形，而且这个图形一笔画的起止点是确定的，就是和$n+1$最初相连的点（用我们前面的定义是很严谨的），我们只需要补上我们最开始去掉的两根线，很明显地存在有向图满足定义，也就是可以一笔画出。<br><br>
+对于$m>1$的情况是很类似的，只不过去掉两根线后，先让$n+1$个点生成有向图，然后再补上去掉的两根线即可。<br><br>
+从而，通过递归，我们便证明了我们上述的条件就是充要条件，只需要观察所有点连了几条线，就可以判断这个图能不能一笔画出。
+### 生成一笔画的方法
+不过到这里我还需要研究一个问题——如果一个图形可以一笔画，有没有一个方法能够保证任意可以一笔画的图形我都能直接生成出一笔画的方法，从而做到任意图我都能直接秒杀？这部分我暂时还没有研究出来，等我研究出来我再来写。

Chirpy/_posts/2025-04-30-选择公理应用.md

@@ -30,4 +30,30 @@ tags: [数学,集合论,选择公理,笔记]
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 >因此，这个结论在集合论和抽象代数中是成立的，并且依赖于佐恩引理。
 
+## 极大反链
+通过佐恩引理可以证明，一个树的任何反链都可以扩展为一个极大反链（附一个Gemini的证明）：<br>
+>1.  **构造一个集合族**：
+     假设我们有一个偏序集 `(P, ≤)`，以及 P 中的一个反链 `A`（`A` 可以是空集）。我们现在想证明存在一个极大反链 `M` 包含了 `A`。
+     我们定义一个集合 `F`，它的成员是 P 中所有“包含 A 的反链”。
+     `F = { B | A ⊆ B 并且 B 是 P 中的一个反链 }`
+>
+>2.  **在这个集合族上定义偏序关系**：
+    `F` 本身也构成一个偏序集，它的序关系就是集合的**包含关系 `⊆`**。也就是说，对于 `F` 中的两个反链 `B₁` 和 `B₂`，我们说 `B₁ ≤ B₂` 当且仅当 `B₁ ⊆ B₂`。
+>
+>3.  **验证佐恩引理的条件**：
+    佐恩引理说：如果一个非空偏序集 `(F, ⊆)` 中，**任意一个链（Chain）**都有上界，那么 `F` 必定存在极大元。
+    *   什么是**链**？链是 `F` 的一个子集 `C`，其中任意两个元素都是可比较的。也就是说，对于 `C` 中的任意 `B₁, B₂`，要么 `B₁ ⊆ B₂`，要么 `B₂ ⊆ B₁`。这就像一串“套娃”一样的反链。
+    *   我们要证明任意这样的链 `C` 都有一个**上界**。这个上界就是链中所有反链的**并集**，我们称之为 `U = ⋃_{B∈C} B`。
+    *   我们需要证明这个 `U` 确实是 `F` 的一个元素（即 `U` 是一个包含 `A` 的反链），并且它确实是链 `C` 的上界。
+        *   `U` 包含 `A` 是显然的，因为链 `C` 中每个元素都包含 `A`。
+        *   `U` 是一个反链吗？是的。可以证明：如果 `U` 中有两个元素 `x, y` 是可比较的（比如 `x ≤ y`），那么它们必定来自链 `C` 中的同一个反链 `B` 内，但这与 `B` 是反链相矛盾。所以 `U` 必然是反链。
+        *   `U` 是 `C` 的上界吗？是的，因为对于 `C` 中任意一个 `B`，都有 `B ⊆ U`。
+>
+>4.  **得出结论**：
+    既然 `(F, ⊆)` 满足佐恩引理的条件，那么 `F` 中必然存在一个**极大元**，我们称之为 `M`。
+    这个极大元 `M` 是什么？
+    *   根据 `F` 的定义，`M` 是一个包含 `A` 的反链。
+    *   根据 `M` 是 `F` 中极大元的定义，不存在 `F` 中的其他元素 `B` 使得 `M` 是 `B` 的真子集（`M ⊂ B`）。
+    *   这就意味着 `M` 已经是一个**极大反链**了。因为如果它不是极大反链，就说明可以再往里面添加至少一个元素 `z` 形成一个更大的反链 `M ∪ {z}`。而 `M ∪ {z}` 显然也属于我们定义的集合 `F`，并且 `M ⊂ M ∪ {z}`，这就与 `M` 是 `F` 中的极大元相矛盾了。
+
 [^book]: 冯琦集合论

Chirpy/_posts/2025-10-22-烧录U盘恢复.md

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+---
+title: Etcher烧录的U盘恢复
+author: me
+date: 2025-10-22 21:26:00 +0800
+description: 使用BalenaEtcher烧录后的U盘如何恢复正常使用
+categories: [计算机,系统]
+tags: [计算机]
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+最近使用BalenaEtcher将Ubuntu烧录到U盘为我新买的x86工控小主机安装Ubuntu，不过毕竟是将系统文件烧录到U盘，系统安装完成之后U盘自然也无法正常使用。对此网上确实有不少教程，不过也有不少失败的例子，不过我很幸运直接就看到了[官方教程](https://blog.balena.io/did-etcher-break-my-usb-sd-card/)，其中使用的`diskpart`就是我在[扩大C盘](../扩充C盘/)中所使用的那个程序，操作流程也类似，按顺序对U盘执行三个命令就能清除其上的系统文件了。
+```bash
+clear all #我自己从其他教程看到的，我执行了这个没什么影响，所以还是写上了
+create partition primary
+select partition 1
+format quick
+```